Dúvidas Acadêmicas [Todas as Matérias]

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

Tipo, no meu caso, a região é um quadrado, mas isso não importa porque tudo fora de um círculo suficientemente pequeno para conter a origem nessa região, de uma ponta a outra, daria zero, é isso? Então posso integrar numa circunferência mesmo?

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

A integral daquele campo lá F = (-y,x)/x²+y² (ou y,-x) numa curva que contém a origem é sempre 2 pi, e se não contém é zero.

se não contém:
todos os pontos "dentro da curva" pertencem ao dominio de F, e a integral do rot F nessa regiao é igual a integral de linha que determina essa regiao. como o rot F = 0, a integral dessa linha é zero.

se contém:

voce pega uma regiao dentro dela que contém a origem. agora voce tem uma regiao que nao contem a origem (a anterior menos a nova que voce criou), e nessa ai a integral de linha (do bordo, que sao agora 2 curvas) é zero. a diferença é que agora voce tem "2 linhas". como voce sabe do outro exercício que a de dentro é 2 pi para um raio qualquer, pegue um raio pequeno, desde de que dentro do quadrado, e assim a integral de linha do quadrado + a desse circulo é igual a zero (caso anterior), e a parte de dentro do circulo de raio pequeno, 2 pi. lembrando que existem certos detalhes referentes a orientação das curvas (horario de anti horario) que faz com que a integral do circulo de raio pequeno seja -2pi na verdade.



("Somando" a 2a figura de cima com a 1a de baixo, chega-se ao resultado)

Eu não tenho livro, cara. Mas valeu pela explicação. Mas tipo... primeiro, se a função dependesse do raio, não poderia usar isso assim, né? E outra, a região do círculo contendo o buraco não dá zero, o que dá é tudo fora dela, não?

Não entendi por que teria de integrar no sentido negativo do círculo interno.

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

Isso, em toda regiao que nao contenha a origem a integral de linha desse campo em especial sera zero. Se a funcao dependesse do raio, ai o problema seria outro. O importante é entender que se as curvas envolvidas determinam uma regiao que nao contem a origem, a soma da integral de linha dessas curvas é zero. como no caso sao duas curvas, e sabemos que a de uma delas é -2pi (por que ela tem a origem), o resultado vem fácil.

Ah, valeu. Mas por que rola essa inversão do sentido?
Outra coisa, como eu posso afirmar que a função não depende do raio? Acho que isso importa na questão.

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

no ex la da pagina anterior dava 2pi, por que la o sentido era anti horario (nao falava explicitamente, mas quando nao fala, a gente supoe que é. é como eu falar integre x² na regiao entre 1 e 3, voce vai supor que é de 1 à 3, e nao o contrario, de 3 a 1)

a "regra" do teorema de green diz que a integracao de linha no bordo de D deve ser feito sobre as curvas na orientação positiva. a tal "orientação positiva" é aquela tal que, andando na direção da curva, a região D está a sua esquerda. dadas essas orientações, vale o teorema:

integral de F*dr = integral de rot F*dD, em que D é a área formada pelas curvas r

Entendi por que o sentido muda, não conhecia essa definição da região ficar do lado esquerdo. Pensei que só tivesse a ver com o sentido anti-horário e horário.

Mas queria saber só como posso afirmar que a função independe do raio. No caso, realmente se cancela e eu vi isso na outra, isso é o bastante para afirmar que posso escolher uma circunferência de qualquer raio?

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

Sim, só pode por que "corta" os raios no final. Isso aí é uma coincidência desse exemplo famosinho aí. Dá 2pi qualquer que seja o raio.

Eu optei por parametrizar x = cost e y = sent para não ter trabalho com o raio. Deu 2 pi aqui. Obrigadão mesmo.