Dúvidas Acadêmicas [Todas as Matérias]

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

não, rot F é um vetor, você obtém ele pelo produto vetorial das derivadas (o "nabla" = del(.)/del x,del(.)/del y,del(.)/del z) com o F. o produto escalar é pra obter o divergente. só a titulo de curiosidade, quando eu aprendi isso em cálculo ouvia (de veteranos) que essas coisas nunca seriam usadas, até o dia em que eu decidi estudar mecânica dos fluidos...

Eu ainda não cheguei ao Teorema de Strokes. Até o momento, toda a integral de linha que eu resolvia vinha junto de um produto escalar. Para mim, isso dificilmente será útil, mas tenho que me virar com isso.

Cara, como você deduziu que

(t = 0...2pi): ∫ F*dr = (1/R²)(∫r*cos t dt i - ∫r*sen t dt j) = 0

Dava zero tão facilmente sem sequer resolver a integral?



A minha resposta havia dado zero, mas pode ter sido coincidência. Foi o seguinte:

Parametrizei x = rcost e y = rsent, troquei os limites por 0<= t <= 2pi

(0:2pi) ∫(sent i - cost j)*((cost i - (-sent j))/r =
(0:2pi) ∫(sentcost - costsent)/r = 0

Impressão minha ou r é diferente de R?

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

tem razão, eu errei na integral lá. a integral de linha é um produto escalar entre o F e o dr, e eu me esqueci do dr. para fazer a integral de linha ∫ Fdr alem de parametrizar F para obter F em função de t, deve-se fazer a mudança de variável do dr, que é um vetor dr = (dx/dt,dy/dt)*dt = (Rcost dt, -Rsent dt), e aí fazer o produto escalar dos dois. Aí você obtém:

∫ F*dr = (1/R²)(∫R*cos t*(Rcos t) dt i - ∫R*sen t*(-Rsen t) dt j) = (1/R²)*∫R²dt = 2pi (corta os R² e soma cos² com sen²).

Este campo não é conservativo (a integral sobre um percurso fechado não é zero e apesar do rotacional ser zero - campos conservativos tem rotacional igual a zero porém o contrário não é necessariamente verdade, este é um contra-exemplo disso) e creio que esta seja a razão do resultado obtido pelo teorema de Stokes dar diferente. vou verificar aí, depois te falo. mas a integral de linha da 2pi, com certeza, pois achei o exemplo num livro agora pouco.

Mas, cara, tipo, depois da parametrização, se F = (1/R²)(Rsent i - Rcost j) e dr = (-Rcost i - Rsent j), ∫F*dr não deveria ser:

(1/R²)(∫ (Rsent i - Rcost j)*(-Rcost i - Rsent j)) = ∫-sentcost + sentcost dt?

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

cuidado aí cara, eu usei x = R*sen t e y = R*cos t
no F você tem (-y,x) e no dr você tem as derivadas de x e y.
-y = -R*cos t e a derivada de x é R*cos t. e no meu post anterior tem um edit, de uma lida la.

Pois é, me confundi ao formar o vetor dr. Obrigado, cara. Aqui deu -2pi D:

Ah, é uma observação, se |x = rcost e y = rsent ou |x = rsent e y = rcost faz, sim, diferença, cara. No caso, você inverte o sentido da integração, procede?

[Henriiquee~]

Dicas de bons livros para estudar história, geografia e biologia para o vestibular?

[Cloud The Swordman]

Galera, alguém por favor me ajude de novo. Tenho de resolver essa integral

∫ (xdy - ydx)/(x² + y²)

na região |x| + |y| <= 4


Eu decidi dividir a região de integração em 4 retas e fiz uma integral dupla.

[luizjuiz]

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[Cloud The Swordman]

Seria a região de integração |x| + |y| = 4 ?

Não estou entendendo como realizar uma integral de linha numa área, poste foto do livro aí.

O professor colocou no quadro. Eu não sei se é bem uma integral de linha, ele não introduziu assunto novo, então deve ser. Ele só colocou uma integral com aquela bolinha de caminho fechado e:

∫(xdy - ydx)/(x² + y²) na região |x| + |y| <= 4

Hoje o professor estava mostrando que ∫Pdx + Qdy numa região = ∫∫Pdx - Qdy dA