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742617000027
Boa tarde, estou com dúvida nessas questões de Polígonos Regulares/Geometria:
38- O perímetro de um quadrado inscrito numa circunferência mede 24cm. Quanto mede o apótema desse quadrado? Qual é a medida do raio da circunferência?
39- O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 12cm. Calcule as medidas do lado e do apótema de um triângulo equilátero inscrito nessa mesma circunferência.
40- O apótema de um quadrado inscrito numa cinrcunferência mede 5√2cm. Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência.
Já quebrei a cabeça e não consigo chegar aos resultados! O que me atrapalha são as circunferências (ou quando tem duas figuras em uma só). A relação de Diâmetro, Raio, Lado, etc eu já tô assimilando.
Fiz até os desenhos aqui no caderno, pra ver se ajudava, mas não consegui.
Obrigado desde já.
Cara, não vou fazer absolutamente tudo pois estou sem lápis e papel aqui perto, mas vamos lá:
38:
O perímetro do quadrado é de 24cm, mas o perímetro é a soma do comprimento dos lados, logo:
4L = 24 cm -> L = 6cm (L = lado do quadrado).
O diâmetro da circunferência é um segmento de reta que começa e termina na circunferência e passa pelo seu centro. Se você fizer um desenho no seu caderno de um quadrado inscrito numa circunferência você verá que a diagonal do quadrado corresponde ao diâmetro da circunferência.
Diagonal do quadrado é Dg = L*V2 (V2 é raiz de 2) então:
Dg = 6*V2 e isso é igual ao diâmetro da circunferência, que é duas vezes o seu raio, logo:
r = Dg/2 = 3*V2 cm
Apótema é a designação dada ao segmento de reta que partindo do centro geométrico da figura é perpendicular a um dos seus lados.
Ou seja, ele sai do centro do quadrado e é perpendicular a um dos lados. Neste caso, se você fizer o desenho, notará que equivale à metade do lado do quadrado, logo:
A (apótema) = L/2 = 6/2 = 3cm.
EDIT1:
39)O lado de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede 12cm. Calcule as medidas do lado e do apótema de um triângulo equilátero inscrito nessa mesma circunferência.
Primeiro temos que calcular o apótema do hexágono, vamos nos basear nesta imagem:
Note que você pode dividir o hexágono em 6 triângulos equiláteros em que os lados possuem o mesmo comprimento de um dos lados do hexágono e neste caso a altura do triângulo é o apótema do hexágono.
A altura de um triângulo equilátero é:
H = (L*V3)/2 -> H = (12*V3)/2 = 6*V3 = A
Existem uma relação entre o apótema (A), o número de lados de um polígono regular (n) e o raio (R) do círculo em que ele está inscrito, que é dada da seguinte forma:
A = R*cos(pi/n)
Isolando R:
R = A/cos(pi/n) = (6*V3)/cos(pi/6), mas cos(pi/6) é V3/2, logo:
R = 6*2*V3/V3 = 12 cm
Usando a mesma relação você cosngue calcular o apótema do triângulo equilátero inscrito na circunferência:
A = R*cos(pi/n) -> A = 12*cos(pi/3) = 12*0,5 = 6cm
Com isso acho que você consegue calcular tranquilo o lado do triângulo.
EDIT2:
40)O apótema de um quadrado inscrito numa cinrcunferência mede 5√2cm. Calcule a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito nessa mesma circunferência.
Praticamente tudo que você precisa está feito na questão anterior.
Use a relação entre R, A e n com os dados do problema e você terá R do circulo, e com isso pode calcular A do hexágono.
Com A do hexágono calcule o lado, fazendo praticamente o processo inverso ao da questão 39.
Espero que isso ajude, se ainda tiver alguma dúvida, é só avisar.
-=Angel of Darkness=-
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