
Postado originalmente por
GuGa™
Questão da prova de G.A de hoje queria saber se meu raciocínio tá certo ou me fudi.
Determine o ângulo entre o plano ax + by + cz + d = 0 e os planos coordenados.
Eu peguei o vetor normal a esse plano (a,b,c) e tirei o versor dele:
(a,b,c)/sqrt(a²+b²+c²)
Como as coordenadas dos versores são também os cossenos dos vetores diretores:
Aí ficou, cos(alfa) = a/[sqrt(a²+b²+c²)]
cos(beta) semelhante porém com b no lugar do a
e cos (gama) semelhante porém com c no lugar do a
Porém o ângulo formado entre a reta normal e os planos na verdade é o complementar do formado entre o plano e os planos coordenados, então eu fiz para cada cosseno:
cos²(alfa) + cos²(alfa')[ângulo real do plano e os planos coordenados] = 1
cos²(alfa') = 1 - cos² (alfa)
cos²(alfa') = 1 - a²/(a²+b²+c²)
cos(alfa') = sqrt[b²+c²/(a²+b²+c²)]
alfa' = arccos sqrt [b²+c²/(a²+b²+c²)]
Pra beta' e gama' eu fiz semelhante, porém no numerador de beta' ficou a²+b² e no de gama' ficou a²+b².
Alguém sabe se eu fiz merda e onde tá essa merda?
Corrige aí se meu raciocinio estiver errado.
Vetor normal do plano ax+by+cz+d=0
n= (a,b,c)
Como queremos encontrar o angulo entre dois planos, basta tomar o vetor normal de cada um deles e usar e aplicar o produto escalar entre eles.
x é o vetor normal ao plano coordenado xy
tomando um vetor perpendicular do plano dado por (0,0,1) e aplicando
n.x = |n|.|x|.cosa
|(0.a + 0.b + 1.c)| = raiz(a²+b²+c²).1.cosa
a = arccos[ |c|/raiz(a²+b²+c²)]
Módulo para pegar o agudo.
Para os outros dois casos é analogo.
Acredito que
seje isso.