Dúvidas Acadêmicas [Todas as Matérias]

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Citação:

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Postado originalmente por luizjuiz

não, rot F é um vetor, você obtém ele pelo produto vetorial das derivadas (o "nabla" = del(.)/del x,del(.)/del y,del(.)/del z) com o F. o produto escalar é pra obter o divergente. só a titulo de curiosidade, quando eu aprendi isso em cálculo ouvia (de veteranos) que essas coisas nunca seriam usadas, até o dia em que eu decidi estudar mecânica dos fluidos...

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Eu ainda não cheguei ao Teorema de Strokes. Até o momento, toda a integral de linha que eu resolvia vinha junto de um produto escalar. Para mim, isso dificilmente será útil, mas tenho que me virar com isso.

Cara, como você deduziu que

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(t = 0...2pi): ∫ F*dr = (1/R²)(∫r*cos t dt i - ∫r*sen t dt j) = 0

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Dava zero tão facilmente sem sequer resolver a integral?



A minha resposta havia dado zero, mas pode ter sido coincidência. Foi o seguinte:

Parametrizei x = rcost e y = rsent, troquei os limites por 0<= t <= 2pi

(0:2pi) ∫(sent i - cost j)*((cost i - (-sent j))/r =
(0:2pi) ∫(sentcost - costsent)/r = 0

Impressão minha ou r é diferente de R?

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Postado originalmente por luizjuiz

tem razão, eu errei na integral lá. a integral de linha é um produto escalar entre o F e o dr, e eu me esqueci do dr. para fazer a integral de linha ∫ Fdr alem de parametrizar F para obter F em função de t, deve-se fazer a mudança de variável do dr, que é um vetor dr = (dx/dt,dy/dt)*dt = (Rcost dt, -Rsent dt), e aí fazer o produto escalar dos dois. Aí você obtém:

∫ F*dr = (1/R²)(∫R*cos t*(Rcos t) dt i - ∫R*sen t*(-Rsen t) dt j) = (1/R²)*∫R²dt = 2pi (corta os R² e soma cos² com sen²).

Este campo não é conservativo (a integral sobre um percurso fechado não é zero e apesar do rotacional ser zero - campos conservativos tem rotacional igual a zero porém o contrário não é necessariamente verdade, este é um contra-exemplo disso) e creio que esta seja a razão do resultado obtido pelo teorema de Stokes dar diferente. vou verificar aí, depois te falo. mas a integral de linha da 2pi, com certeza, pois achei o exemplo num livro agora pouco.

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Mas, cara, tipo, depois da parametrização, se F = (1/R²)(Rsent i - Rcost j) e dr = (-Rcost i - Rsent j), ∫F*dr não deveria ser:

(1/R²)(∫ (Rsent i - Rcost j)*(-Rcost i - Rsent j)) = ∫-sentcost + sentcost dt?

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Postado originalmente por luizjuiz

cuidado aí cara, eu usei x = R*sen t e y = R*cos t
no F você tem (-y,x) e no dr você tem as derivadas de x e y.
-y = -R*cos t e a derivada de x é R*cos t. e no meu post anterior tem um edit, de uma lida la.

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Pois é, me confundi ao formar o vetor dr. Obrigado, cara. Aqui deu -2pi D:

Ah, é uma observação, se |x = rcost e y = rsent ou |x = rsent e y = rcost faz, sim, diferença, cara. No caso, você inverte o sentido da integração, procede?

Dicas de bons livros para estudar história, geografia e biologia para o vestibular?

Galera, alguém por favor me ajude de novo. Tenho de resolver essa integral

∫ (xdy - ydx)/(x² + y²)

na região |x| + |y| <= 4


Eu decidi dividir a região de integração em 4 retas e fiz uma integral dupla.

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Postado originalmente por luizjuiz

Seria a região de integração |x| + |y| = 4 ?

Não estou entendendo como realizar uma integral de linha numa área, poste foto do livro aí.

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O professor colocou no quadro. Eu não sei se é bem uma integral de linha, ele não introduziu assunto novo, então deve ser. Ele só colocou uma integral com aquela bolinha de caminho fechado e:

∫(xdy - ydx)/(x² + y²) na região |x| + |y| <= 4

Hoje o professor estava mostrando que ∫Pdx + Qdy numa região = ∫∫Pdx - Qdy dA